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Atividades de Matemática Básica
Atividades de Matemática Avançada

A Teoria do Caos.

Desde o começo, a ciência tem consistido na busca das leis de ordem que governam a natureza.

Com cada avanço, parece que algum elemento de desordem é conquistado.

Sistemas dinâmicos complexos, em especial, passaram a ser compreendidos e quantificados com a invenção do cálculo.

Há muito tempo, porém, os cientistas perceberam que diversos fenômenos naturais, como:

• O movimento das nuvens.
• A turbulência observada nos cursos de água.
• A fumaça em algum lugar.
• O movimento de uma folha ao vento.
• Os padrões das ondas cerebrais.
• Os surtos epidêmicos.
• Congestionamentos de trânsito.

Estes fenômenos são tão desordenados e caóticos que parecem desafiar qualquer tentativa de serem enquadrados nas leis que regem a natureza.

Em 1903, no entanto, o matemáico francês Jules Henri Poincarê (1854-1912), famoso por seu trabalho sobre topologia, identificou circunstâncias nas quais imprecisões mínimas em suas candições iniciais podem ser multiplicadas de forma a acarretar diferenças imensas no resultado final.

O trabalhe de Poincarê ficou em grande parte esquecido até que, em 1961, o meteorologista e matemático norte-americano Edward N. Lorenz, que trabalhava com um computador primitivo, determinou-se a produzir um modelo matemático capaz de descrever o comportemento da atmosfera.

No transcorrer de seu trabalho, Lorenz acidentelmente deparou com o primeiro sistema metemático cujas condições iniciais, ao serem levemente alteradas, conduziam a assombrosas diferenças em seu resultado final.

Lorenz mostrou que este fenômeno tomava as previsões meteorológicas de longe prazo praticamente impossíveis.

Seu trabalho e as análogas que desenvolveu a partir dele atrairam a atenção de cientistas de outras áreas e levaram ao desenvolvimento de um novo ramo da matemática a Teoria da Caos.

Desta analogia, uma das mais surpreendentes é conhecida como efeito borboleta.

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Efeito Borboleta.

Consiste na teoria de que uma perturbação do ar causada pelo movimento de uma asa de borboeta na China pode provocar uma tempestade um mês depois em Nova York.

Na década de 70, alguns cientistas e matemáticos, e até mesmo alguns economistas, se propuseram a investigar a desordem e a instabilidade.

• Fisiologistas passaram a estudar padrões caóticos na ação de padrões cardíacos que levavam a paradas cardiacas bruscas.
• Engenheiros eletrônicos passaram a investigar o comportamento por vezes caótico dos esciladores.
• Ecologistas partiram para examinar a maneira aparentemente aleatória pela qual populações de animais selvagens se alteram.
• Os químicos estudaram flutuações inesperadas em reações químicas.
• Economistas passaram a se indagar se algum tipo de ordem poderia ser detectado nas imprevisíveis flutuações de preços nos mercados de capitais.

O primeiro indício de um padrão latente no caos foi encontrado pelo físico norte-americano Mitchell Feigenbaum em 1976.

Feigenbaum notou que, quando um sistema ordenado começa a se desagregar em caos, o faz frequentemente de acordo com um padrão consistente em que a taxa de ocorrência de algum evento repentinamente se duplica por várias vezes seguidas.

É exatamente o que ocorre na geometria fractal, na qual qualquer parte de uma figura é uma cópia reduzida de uma parte maior.

Feigenbaum também descobriu que, para um certo número constante de duplicações, a estrutura adquire uma espécie de estabilidade.

Esta constante numérica, denominada número de Feigenbaum, pode ser aplicada a uma ampla variedade de sistemas caóticos.

Para compreender o que é o caos para os matemáticos, vamos considerar um exemplo simples.

A iteração é o processo matemático em que o resultado de um cálculo é aplicado como ponto de partido de uma repetição do mesmo processo por várias vezes seguidas.

Podemos, por exemplo, tomar um número e dividi-lo por dois, depois tomar a resultado e dividi-lo por dois novamente e, assim, indefinidamente.

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Adição
Subtração
Multiplicação
Divisão

O conjunto dos números resultantes destas operações é chamado de órbita do número.

Começando-se, por exemplo, com 16, sua órbita seria 8, 4, 2,1,1/2,1/4,1/8,1/16, e assim por diante.

Mais uma vez, podemos realizar o processo iterativo com qualquer número (X) entre 0 e 1 e o processo consistiria em "multiplicar o produto de x e 1 - x por 3".

Essa operação produz uma órbita previsível.

Surpreendentemente, a iteração de números entre 0 e 1 através do processo de "multiplicação do produto de x por 1 - X por 4" produz uma órbita caótica para alguns números e previsível para outros.

Valores iniciais intimamente relacionados fornecem números orbitais completamente diferentes.

Em outras palavras, o sistema, algumas vezes, é altamente sensível para os valores iniciais e outras vezes, não.

Isto é característico do que os matemáticos chamam de caos.

A teoria do caos procura descrever o modo como estes sistemas mudam de previsíveis para inteiramente desordenados.

Atualmente, discute-se muito se a teoria do caos, da maneira como tem sido apresentada até agora, realmente serve para descrever de modo adequado os sistemas dinâmicos aparentemente desordenados da natureza.

Se ela é, de fato, como alguns proclamam, um novo instrumento matemático comparável em importância ao cálculo ou mesmo se ela é uma disciplina que mereça figurar ao lado da relatividade e da mecânica quântica.

A controvérsia impera, mas o nível de interesse que o assunto desperta e o volume de pesquisas continuam a crescer.

Grandes progressos, em um ou em outro sentido, são aguardados.

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