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Sistemas Numéricos.

Os números naturais, ou inteiros, são aqueles que usamos para contar.

Nosso sistema numérico possui duas importantes propriedades:

• Os números podem ser usados para contar conjuntos de objetos e formam uma progressão naturalmente ordenada na qual o primeiro número é 1, não havendo, porém, um último número.
• Por maior que seja o número, outro maior que ele pode ser sempre obtido.

Contudo, há operações aritméticas que, mesmo sendo bastante simples, não podem ser efetuadas inteiramente com os números naturais.

Normalmente, nem pensamos nos princípios envolvidos ainda que, mesmo para fazer uma simples subtração ou divisão, precisemos lançar mão de sistemas numéricos mais complexos, como frações e números negativos.

Ábaco Chinês.

O ábaco já foi um importante instrumento matemático, hoje devido à tecnologia não é mais usado como no passado.

O ábaco chinês possui normalmente duas contas nos eixos acima da barra transversal, que representam 5 unidades cada.

Nos eixos abaixo da barra cinco contas, que representam 1 unidade cada.

As contas são movimentadas em direção à barra.

Na imagem são mostrados dois números:

• 8654 à esquerda
• 93 à direita

Números Naturais e Aritmética.

Se eu tenho 3 carneiros e você me dá mais 4, eu conto e vejo que agora tenho 7 carneiros ou uso a adição para obter a mesma resposta:
3 + 4 = 7

Se prometo 4 doces a cada uma de 5 crianças, eu sei, contando, que serão 20 doces ao todo ou, então, uso a multiplicação:
5 × 4 = 20

Temos aqui exemplos de outra propriedade dos números naturais:

• O produto de toda adição ou multiplicação de números naturais é outro número natural.

Diz-se que sistemas deste tipo são fechados para estas operações.

Sistema fechado é aquele no qual uma operação entre dois de seus elementos produz outro elemento que pertence ao sistema.

Se eu tinha 3 carneiros e quando você me deu os seus fiquei com 7, posso usar a subtração para saber quantos cameiros você me deu:
7 − 3 = 4

Ao distribuir igualmente 20 doces por 5 crianças, posso descobrir através da divisão quantos devo dar a cada:
20 ÷ 5 = 4

• A subtração é a operação inversa da adição.
• A divisão é a operação inversa da multiplicação.

No entanto, os números naturais não são fechados para as operações de subtração e divisão, como veremos adiante.

Propriedades da Aritmética.

Propriedade Comutativa.

Da Adição:
a + b = b + u

Da Multiplicação:
a × b = b x a

Propriedade Associativa.

Da Adição:
(a + b) + c = a + (b + c)

Da Multiplicação:
(a × b) × c = a × (b x c)

Propriedade Distributiva da Multiplicação.

Sobre a Adição:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

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Álgebra.

Em álgebra simples, usamos letras para simbolizar números desconhecidos cujos valores precisam ser descobertos ou para simbolizar números em geral.

Neste caso, costuma-se usar as letras iniciais do alfabeto.

Por exemplo, para exprimir uma verdade geral sobre os números, como:
a + b = b + a

As letras finais do alfabeto costumam ser usadas para representar números desconhecidos.

Por exemplo, a informação sobre os carneiros pode ser expressa pela equação:
3 + x = 7
em que x representa o número desconhecido de carneiros que você me deu.

Como os dois lados desta equação são iguais, eles permanecem iguais se dermos aos dois o mesmo tratamento.

Se subtrairmos 3 de cada lado, obteremos
x = 7 − 3
ou seja, x = 4

Assim, resolvemos a equação.

Subtração e Números Inteiros.

O conjunto dos números naturais não é fechado para a subtração.

Por exemplo:
3 − 7
não fomece um número natural como resposta.

O menor conjunto de números fechado para a subtração é o conjunto dos números inteiros, ou seja,
{...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3,...}

Aqui, os números inteiros positivos são os naturais.

O zero é definido como o resultado da subtração de qualquer número inteiro por si mesmo.

Os números inteiros negativos são obtidos quando se subtraem de zero os correspondentes positivos (−3 = 0 − 3).

Toda subtração possui uma resposta dentro do sistema numérico dos inteiros, ou seja, os inteiros são fechados para a subtração.

Divisão e Números Racionais.

Os números inteiros, todavia, ainda não são fechados para a divisão.

Podemos construir um sistema definindo o resultado de qualquer divisão, a ÷ b, como sendo o par de números inteiros, a e b, escritos numa notação que distingue qual deles é o divisor.

Assim, escrevemos a ÷ b como a proporção ou fração a/b e temos o sistema dos números racionais.

É importante observar que os números racionais não são idênticos a seus símbolos.

O mesmo número racional pode ser representado por um número infinito de frações diferentes.

Por exemplo, 24/8 é o mesmo que 12/4 ou 6/2.

Adotamos a convenção de representá-los, quando possível, pela única fração que não possua fator comum para simplificá-la
(14/21 equivale a 2/3 simplificada pelo fator 7).

Também deve-se notar que os decimais são números racionais; por exemplo:
0,5 = 5/10 ou 1/2
1,61 = 161/100

Confrontamo-nos agora com um problema.

Os números racionais não podem ser fechados para a divisão por causa do número inteiro 0.

Não podemos dar valor a a/0 para qualquer número racional a.

Temos que nos contentar com o fato de que os números racionais são fechados para a divisão, com exceção do número inteiro 0.

Acesse nossos Exercícios Grátis.
Adição
Subtração
Multiplicação
Divisão

Raízes e Números Irracionais.

6⁵, que deve ser lido como "6 elevado à potência 5", significa o número 6 multiplicado por si mesmo 5 vezes:
(6 × 6 × 6 × 6 × 6)

Generalizando, a^b (a elevado à potência b) significa que a é multiplicado por si mesmo b vezes.

São operações fechadas para os sistemas numéricos abordados até agora.

Entretanto, nenhum destes sistemas garante a possibilidade da operação inversa, a extração de raízes.

Se b = aⁿ
(onde n representa um número inteiro), então a é a enésima raiz de b, representada como a = ⁿ√b.

Por exemplo, como 3 × 3 = 9, a raiz quadrada de nove (representada como √9) é igual a 3 e como 2 × 2 × 2 = 8, a raiz cúbica de 8 (representada por ³√8) é 2.

Entretanto, nenhum dos sistemas que consideramos é fechado para esta operação.

Por exemplo, √2, √3 e √5 não podem ser expressos como frações ou decimais, são exemplos dos chamados números irracionais.

Eles possuem significado exato, pelo Teorema de Pitágoras, √2 é o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo cujos outros lados medem 1 e √5 é o comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo cujos outros lados possuem comprimentos 1 e 2.

Obviamente, precisamos acrescentar os números irracionais aos nossos sistemas numéricos para garantir o fechamento para estes cálculos.

Os sistemas que abordamos, os números naturais, os inteiros, os racionais e os irracionais, formam, juntos, o sistema dos números reais.

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Números Imaginários e Complexos.

Agora que admitimos a extração de raízes, abre-se nova lacuna em nosso sistema numérico.

Não definimos a raiz quadrada de números negativos.

A princípio, podemos discutir a importância desta omissão, mas, sem um sistema que inclua tais números, muitas valiosas aplicações da engenharia e da física não seriam possíveis.

Surpreendentemente, só será preciso acrescentar ao nosso sistema um novo número.

Como todos os números negativos são múltiplos positivos de −1 (por exemplo, −6 é 6 × −1, então √−6 = √6 × √−1), a única preocupação é com a raiz quadrada de −1, indicada pela letra i.

Assim, temos que i² = −1.

Os múltiplos reais de i, como 3i, 2, 7i, 2i/3 e í√2, são chamados números imaginários.

A soma de um número real com um imagináno, como 5 + 3i, é um número complexo.

Todo número complexo pode ser expresso como a soma de sua parte real com a imaginária.

As regras empregadas no uso dos números complexos são as mesmas que as dos números reais.

Por exemplo:
(a + ib) (a - ib) = a² + b^b.

Os termos entre parênteses são, então, os fatores de a² + b².

No sistema de números complexos, qualquer expressão algébrica que tenha potência de números inteiros possui o mesmo número de fatores que a potência mais alta da expressão.

Isso é tão importante que é chamado de Teorema Fundamental da Álgebra.

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